ХІХ ғасырдың екінші жартысында салынды екі қабатты үй ғимаратының бірінші қабаты кірпіштен, екінші қабаты ағаштан жасалған.
Үй иесі – Анияр Молдабаев (1856-1934 жж.) – Абайдың замандасы әрі шәкірті, Шыңғыс болысында туған. Ол Данияр Қондыбаевтың «Абай жолы» романының кейіпкері. Үйді А. Молдабаев Абайдың қаржылай қолдауымен 1898 жылы көпес Москвиннен сатып алған.
Қалаға келген ақын осы үйді қоныстаған. Екінші қабатта оның арнайы бөлмесі бар. Ақыннан басқа бұл үйде Абайдың ұлдары, Шәкәрім Құдайбергенов, Көкбай Жанатаев жиі қонақ болатын. Дәл осы үйді Мұхтар Әуезов құжаттарда өзінің тұрғылықты жері ретінде көрсеткен. А. Байтұрсынов бұл үйде әйелімен біраз уақыт тұрған. Ә.Бөкейхан, М. Дулатов, Ж. Аймауытов және басқа Алаш қайраткерлері бұл үйге жиі жиналатын.
1944-1967 жылдары Ұлы ақынға тікелей қатысы бар бұл үйде Абай мұражайы орналасты. Осыдан кейін 1988 жылға дейін ғимаратта қалалық балалар кітапханасы болды. Содан кейін мұражай ғимараты Халық депутаттары Кеңесінің Атқарушы комитетінің 15.02.1987 жылғы өкімі негізінде 1990 жылы Абай мемлекеттік қорық-музейінің теңгеріміне берілді. 1995 жылдың тамызына дейін ғимаратта Абай мұражайының уақытша экспозициясы орналастырылды.
1997 жылдың қыркүйегінде ғимаратта Алаш қозғалысының тарихына арналған Егемен Қазақстан тарихындағы алғашқы мұражай ашылды. Алаш қозғалысымен тығыз байланысты М. Әуезовтың өмірі мен шығармашылығы бұл мұражай экспозициясында да көрініс тапқан.
Мұражай экспозициясы ғимараттың екінші қабатында орналасқан және Алаш қозғалысының қайраткерлерінің өмірі мен шығармашылығы туралы баяндайтын 4 залдан тұрады. Көрмеден келушілер сирек кездесетін фотосуреттер мен қозғалыс туралы құжаттарды, сол жылдардағы кітаптар мен қолжазбаларды көре алады.
Алаш қозғалысының 100 жылдығы қарсаңында мұражайдың ғимаратын жөндеу және қайта экспозициялау жұмыстары басталды. Мұражай экспозициясының жаңа тұжырымдамасы әзірленді, оны әзірлеуге көрнекті алаштанушы ғалымдар Д. Қамзабекұлы және С. Аққұлы қатысты. Осы Тұжырымдама негізінде тақырыптық-экспозициялық жоспар дайындалды, оған сәйкес жаңа мұражай экспозициясы ғимараттың екі қабатында орналасуы керек еді.
2017 жылдың басында ғимаратта жөндеу жұмыстары жүргізіліп, музейдің реэкспозиция жұмыстары басталды. Жаңа экспозицияда Алаш қозғалысы көшбасшылары Ә.Бөкейхан, А. Байтұрсынов, М. Дулатов мүсіндері қойылған. Келушілер Шәкәрім Құдайбердиев пен жас М.Әуезовтің мүсіндерін де тамашалай алады. Ғимараттың бірінші қабатында ХХ ғасырдың басындағы қалалық үйдің интерьері қалпына келтірілді.
